求如下含有三角函數的定積分

令f(r)=∫(0,2π) ln(r^2-2rcosθ+1)dθ

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再令u=θ-π，則θ=u+π，dθ=du

則f(r)=∫(-π,π) ln(r^2+2rcosu+1)du

=2∫(0,π) ln(r^2+2rcosu+1)du

df/dr=(d/dr)*2∫(0,π) ln(r^2+2rcosu+1)du

=2∫(0,π) d[ln(r^2+2rcosu+1)/dx]du

=4∫(0,π) (r+cosu)/(r^2+2rcosu+1)du

令t=tan(u/2)，在u=2arctant，du=2/(1+t^2)dt，cosu=(1-t^2)/(1+t^2)

df/dr=4*∫(0,+∞) [r+(1-t^2)/(1+t^2)]/[r^2+2r(1-t^2)/(1+t^2)+1]*2/(1+t^2)dt

=8*∫(0,+∞) [(1+t^2)r+1-t^2]/[(1+t^2)r^2+2r-2rt^2+1+t^2](1+t^2)dt

=8*∫(0,+∞) [(r-1)t^2+r+1]/[(r-1)^2*t^2+(r+1)^2](1+t^2)dt

=(4/r)*∫(0,+∞) {(r^2-1)/[(r-1)^2*t^2+(r+1)^2]+1/(t^2+1)}dt

=(4/r)*[(r+1)/(r-1)]*∫(0,+∞) 1/{t^2+[(r+1)/(r-1)]^2}dt+(4/r)*arctant|(0,+∞)

=(4/r)*arctan[(r-1)t/(r+1)]|(0,+∞)+(4/r)*(π/2)

（1）當r=-1或r=1時，df/dr=(4/r)*(π/2)+(4/r)*(π/2)=4π/r

f(r)=4πln|r|+C，其中C是任意常數

因為f(1)=2*∫(0,π) ln(1+cosu)du=-2πln2

所以C=-2πln2

即f(r)=2π*[ln(r^2)-ln2]

（2）當-1r1時，df/dr=(4/r)*(-π/2)+(4/r)*(π/2)=0

f(r)=C，其中C是任意常數

因為f(0)=∫(0,2π) ln1dθ=0，所以C=0

即f(r)=0

三角函數積分公式是什么？

三角函數積分分為定積分和不定積分。

定積分：積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對于一個給定的實函數f（x），在區間[a，b]上的定積分的公式為：f（x）（ab）dx=f（x）（ac）（cb）。

不定積分：設是函數f（x）的一個原函數，我們把函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數）叫做函數f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函數，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，公式為：f（x）dx+c1=f（x）dx+c2。

三角函數的積分公式是什么呢？

三角函數積分公式如下：

sin(α＋β＋γ）＝sinα·cosβ·cosγ＋cosα·sinβ·cosγ＋cosα·cosβ·sinγ－sinα·sinβ·sinγ。

cos(α＋β＋γ）＝cosα·cosβ·cosγ－cosα·sinβ·sinγ－sinα·cosβ·sinγ－sinα·sinβ·cosγ。

tan(α＋β＋γ）＝（tanα＋tanβ＋tanγ－tanα·tanβ·tanγ）÷(1-tanα·tanβ－tanβ·tanγ－tanγ·tanα）。

不定積分：

是函數f（x）的一個原函數，我們把函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數）叫做函數f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函數，x叫做積分變量，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。

注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2,不能推出c1=c2。

三角函數定積分公式

三角函數定積分公式是∫sinxdx=-cosx+C等等，積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數，在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積。

三角函數是基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。

當前文章：c語言三角函數的定積分 c語言三角函數值
轉載來于：http://m.newbst.com/article20/doppijo.html

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