使用Python構造經驗累積分布函數（ECDF）

對于一個樣本序列 ，經驗累積分布函數 (Empirical Cumulative Distribution Function)可被定義為

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其中 是一個指示函數，如果 ，指示函數取值為1，否則取值為0，因此 能反映在樣本中小于 的元素數量占比。

根據格利文科定理（Glivenko–Cantelli Theorem），如果一個樣本滿足獨立同分布(IID)，那么其經驗累積分布函數 會趨近于真實的累積分布函數 。

首先定義一個類，命名為ECDF：

我們采用均勻分布（Uniform）進行驗證，導入 uniform 包，然后進行兩輪抽樣，第一輪抽取10次，第二輪抽取1000次，比較輸出的結果。

輸出結果為：

而我們知道，在真實的0到1均勻分布中， 時， ，從模擬結果可以看出，樣本量越大，最終的經驗累積分布函數值也越接近于真實的累積分布函數值，因此格利文科定理得以證明。

python沒有直接生成服從泊松分布隨機數的函數嗎

首先是泊松分布，這是一個離散型的隨機變量分布，比較好弄，此外例如考察一些到達事件的概率時，通常服從泊松分布，因此該分布相當實用。在開始編寫之前，先感謝知乎一位大神的科普知識，假設有一個服從均勻分布的隨機變量，u~U[0,1]，F(x)為隨機變量x的累計分布函數，那么F-1（u）的變量服從F分布，即F的逆函數是服從F的隨機變量。代碼如下：

[java] view plain copy print?

span style="white-space:pre" /spanprivate static int getPossionVariable(double lamda) {

int x = 0;

double y = Math.random(), cdf = getPossionProbability(x, lamda);

while (cdf y) {

x++;

cdf += getPossionProbability(x, lamda);

}

return x;

}

private static double getPossionProbability(int k, double lamda) {

double c = Math.exp(-lamda), sum = 1;

for (int i = 1; i = k; i++) {

python使用hist畫頻率直方圖時，怎樣修改填

示例代碼：

#概率分布直方圖

#高斯分布

#均值為0

mean?=?0

#標準差為1，反應數據集中還是分散的值

sigma?=?1

x=mean+sigma*np.random.randn(10000)

fig,(ax0,ax1)?=?plt.subplots(nrows=2,figsize=(9,6))

#第二個參數是柱子寬一些還是窄一些，越大越窄越密

ax0.hist(x,40,normed=1,histtype='bar',facecolor='yellowgreen',alpha=0.75)

##pdf概率分布圖，一萬個數落在某個區間內的數有多少個

ax0.set_title('pdf')

ax1.hist(x,20,normed=1,histtype='bar',facecolor='pink',alpha=0.75,cumulative=True,rwidth=0.8)

#cdf累計概率函數，cumulative累計。比如需要統計小于5的數的概率

ax1.set_title("cdf")

fig.subplots_adjust(hspace=0.4)

plt.show()

運行結果為：

如何使用python做統計分析

Shape Parameters

形態參數

While a general continuous random variable can be shifted and scaled

with the loc and scale parameters, some distributions require additional

shape parameters. For instance, the gamma distribution, with density

γ(x,a)=λ(λx)a?1Γ(a)e?λx,

requires the shape parameter a. Observe that setting λ can be obtained by setting the scale keyword to 1/λ.

雖然一個一般的連續隨機變量可以被位移和伸縮通過loc和scale參數，但一些分布還需要額外的形態參數。作為例子，看到這個伽馬分布，這是它的密度函數

γ(x,a)=λ(λx)a?1Γ(a)e?λx,

要求一個形態參數a。注意到λ的設置可以通過設置scale關鍵字為1/λ進行。

Let’s check the number and name of the shape parameters of the gamma

distribution. (We know from the above that this should be 1.)

讓我們檢查伽馬分布的形態參數的名字的數量。（我們知道從上面知道其應該為1）

from scipy.stats import gamma

gamma.numargs

1

gamma.shapes

'a'

Now we set the value of the shape variable to 1 to obtain the

exponential distribution, so that we compare easily whether we get the

results we expect.

現在我們設置形態變量的值為1以變成指數分布。所以我們可以容易的比較是否得到了我們所期望的結果。

gamma(1, scale=2.).stats(moments="mv")

(array(2.0), array(4.0))

Notice that we can also specify shape parameters as keywords:

注意我們也可以以關鍵字的方式指定形態參數：

gamma(a=1, scale=2.).stats(moments="mv")

(array(2.0), array(4.0))

Freezing a Distribution

凍結分布

Passing the loc and scale keywords time and again can become quite

bothersome. The concept of freezing a RV is used to solve such problems.

不斷地傳遞loc與scale關鍵字最終會讓人厭煩。而凍結RV的概念被用來解決這個問題。

rv = gamma(1, scale=2.)

By using rv we no longer have to include the scale or the shape

parameters anymore. Thus, distributions can be used in one of two ways,

either by passing all distribution parameters to each method call (such

as we did earlier) or by freezing the parameters for the instance of the

distribution. Let us check this:

通過使用rv我們不用再更多的包含scale與形態參數在任何情況下。顯然，分布可以被多種方式使用，我們可以通過傳遞所有分布參數給對方法的每次調用（像我們之前做的那樣）或者可以對一個分布對象凍結參數。讓我們看看是怎么回事：

rv.mean(), rv.std()

(2.0, 2.0)

This is indeed what we should get.

這正是我們應該得到的。

Broadcasting

廣播

The basic methods pdf and so on satisfy the usual numpy broadcasting

rules. For example, we can calculate the critical values for the upper

tail of the t distribution for different probabilites and degrees of

freedom.

像pdf這樣的簡單方法滿足numpy的廣播規則。作為例子，我們可以計算t分布的右尾分布的臨界值對于不同的概率值以及自由度。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [[10], [11]])

array([[ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946],

[ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918]])

Here, the first row are the critical values for 10 degrees of freedom

and the second row for 11 degrees of freedom (d.o.f.). Thus, the

broadcasting rules give the same result of calling isf twice:

這里，第一行是以10自由度的臨界值，而第二行是以11為自由度的臨界值。所以，廣播規則與下面調用了兩次isf產生的結果相同。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 10)

array([ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946])

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 11)

array([ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918])

If the array with probabilities, i.e, [0.1, 0.05, 0.01] and the array of

degrees of freedom i.e., [10, 11, 12], have the same array shape, then

element wise matching is used. As an example, we can obtain the 10% tail

for 10 d.o.f., the 5% tail for 11 d.o.f. and the 1% tail for 12 d.o.f.

by calling

但是如果概率數組，如[0.1,0.05,0.01]與自由度數組,如[10,11,12]具有相同的數組形態，則元素對應捕捉被作用，我們可以分別得到10%，5%，1%尾的臨界值對于10，11,12的自由度。

stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [10, 11, 12])

array([ 1.37218364, 1.79588482, 2.68099799])

Specific Points for Discrete Distributions

離散分布的特殊之處

Discrete distribution have mostly the same basic methods as the

continuous distributions. However pdf is replaced the probability mass

function pmf, no estimation methods, such as fit, are available, and

scale is not a valid keyword parameter. The location parameter, keyword

loc can still be used to shift the distribution.

離散分布的簡單方法大多數與連續分布很類似。當然像pdf被更換為密度函數pmf，沒有估計方法，像fit是可用的。而scale不是一個合法的關鍵字參數。Location參數，關鍵字loc則仍然可以使用用于位移。

The computation of the cdf requires some extra attention. In the case of

continuous distribution the cumulative distribution function is in most

standard cases strictly monotonic increasing in the bounds (a,b) and

has therefore a unique inverse. The cdf of a discrete distribution,

however, is a step function, hence the inverse cdf, i.e., the percent

point function, requires a different definition:

ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}

Cdf的計算要求一些額外的關注。在連續分布的情況下，累積分布函數在大多數標準情況下是嚴格遞增的，所以有唯一的逆。而cdf在離散分布，無論如何，是階躍函數，所以cdf的逆，分位點函數，要求一個不同的定義：

ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}

For further info, see the docs here.

為了更多信息可以看這里。

We can look at the hypergeometric distribution as an example

from scipy.stats import hypergeom

[M, n, N] = [20, 7, 12]

我們可以看這個超幾何分布的例子

from scipy.stats import hypergeom

[M, n, N] = [20, 7, 12]

If we use the cdf at some integer points and then evaluate the ppf at

those cdf values, we get the initial integers back, for example

如果我們使用在一些整數點使用cdf，它們的cdf值再作用ppf會回到開始的值。

x = np.arange(4)*2

x

array([0, 2, 4, 6])

prb = hypergeom.cdf(x, M, n, N)

prb

array([ 0.0001031991744066, 0.0521155830753351, 0.6083591331269301,

0.9897832817337386])

hypergeom.ppf(prb, M, n, N)

array([ 0., 2., 4., 6.])

If we use values that are not at the kinks of the cdf step function, we get the next higher integer back:

如果我們使用的值不是cdf的函數值，則我們得到一個更高的值。

hypergeom.ppf(prb + 1e-8, M, n, N)

array([ 1., 3., 5., 7.])

hypergeom.ppf(prb - 1e-8, M, n, N)

array([ 0., 2., 4., 6.])

圖像處理的Python問題，怎么解決

imtools.py里面也要有numpy 的引用才對

def histeq(im,nbr_bins=256):

"""對一幅灰度圖像進行直方圖均衡化"""

#計算圖像的直方圖

imhist,bins = histogram(im.flatten(),nbr_bins,normed=True)

cdf = imhist.cumsum() #累計分布函數

cdf = 255 * cdf / cdf[-1] #歸一化

#使用累計分布函數的線性插值，計算新的像素

im2 = interp(im.flatten(),bins[:-1],cdf)

return im2.reshape(im.shape),cdf

以上代碼我定義在imtools.py文件里并且放在了python2.7里

然后我在num.py里引用他

Python code?

1

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10

from PIL import Image

from pylab import *

from numpy import *

import imtools

im= array(Image.open('E:\\daima\\pydaima\\shijue\\tupian1\\gang2.jpg').convert('L'))

im2,cdf =imtools.histeq(im)

出現以下錯誤：

Traceback (most recent call last):

File "pyshell#56", line 1, in module

a=imtools.histeq(im)

File "E:\daima\pydaima\shijue\imtools.py", line 32, in histeq

NameError: global name 'histogram' is not defined

新聞標題：pythoncdf函數 Pythonf
文章源于：http://m.newbst.com/article4/dodhjie.html

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